Hoy me ha dado por explicar el copo de nieve de Koch, que es un ente matemático con unas propiedades bastante anti-intuitivas, así que os voy a explicar cómo se construye y cuáles son esas propiedades.

El copo de nieve es un fractal. ¿Y qué es un fractal? Pues un fractal es una figura geométrica que es el resultado de aplicar una misma operación hasta el infinito.

La operación del copo de nieve de Koch es muy sencilla, y se aplica sobre un segmento de línea:

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Lo primero que se hace es dividir la línea en tercios:

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Luego se construye un triángulo equilátero sobre el tercio central:

3

Y por último se borra la base del triángulo:

4

Ahora tenemos 4 segmentos:

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Y podemos seguir aplicando esta misma operación sobre cada uno de los 4 nuevos segmentos.

Si en vez de comenzar con un segmento, empezamos con un triángulo equilátero, obtenemos lo siguiente (imagen cortesía de la Wikipedia):

Von_Koch_curve

Y así es como se forma un copo de nieve de Koch.

“Muy bonito”, – estará pensando el lector – “pero, ¿qué tiene este copo de nieve de especial?”.

Lo especial de este copo de nieve es que su superficie es finita pero su perímetro es infinito. Parad un par de segundos para pensar qué significa eso.

(1 segundo)

(2 segundos)

¿Os lo habéis planteado ya? Significa que si tuviéramos un copo de nieve hecho de hilo (no es físicamente posible, pero imaginémoslo) y cortamos el hilo, podríamos estar estirándolo hasta los confines del universo y más allá, y sin embargo el área que ocupa el copo de nieve sería finita.

Que el área es finita parece bastante intuitivo, ya que el copo de nieve es una figura cerrada, así que no lo voy a demostrar. En cambio, demostrar que el perímetro es infinito es mucho más fácil de lo que parece.

Vamos a empezar con un segmento:

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Como podéis ver la longitud es L. Ahora vamos a ver cómo cambia la longitud del segmento al aplicar la operación que he descrito antes:

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O sea, que hemos ganado un tercio de longitud. Ahora nuestros segmentos son más pequeños (de L tercios) pero tenemos 4 segmentos. Vamos a ver qué pasa si seguimos:

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Ahora se ve mejor la tendencia de lo que está pasando. Cada vez que aplicamos la operación dividimos la longitud de los segmentos por 3, pero multiplicamos el número de segmentos por 4.

Por lo tanto la fórmula general para la iteración n es:

¡Et violà! Ahí está nuestra longitud infinita. Obviamente, si empezando con un segmento acabamos con una longitud infinita, si empezamos con un triángulo (tres segmentos) para hacer el copo de nieve acabaremos con el triple de longitud, que sigue siendo infinito.

Ahora la cuestión es, si en cada vez que aplicamos la operación el copo de nieve aumenta su superficie, ¿por qué no acaba con una superficie infinita igual que el perímetro?

Eso os lo dejo a vosotros como pasatiempo :-P

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