El post de hoy va de paradojas. Esta me cambió la concepción de lo que significa “probabilidad”. Así empieza: tenemos un círculo con un triángulo equilátero inscrito:
¿Cuál es la probabilidad de que una cuerda (un segmento que tiene como inicio y como fin puntos de la circunferencia) elegida al azar sea más grande que el lado del triángulo? Tranquilos, no hace falta que hagáis los cálculos, porque os voy a dar 3 posibles soluciones:
- Solución A: dada una cuerda, podemos poner el triángulo de forma que uno de sus vértices coincida con un extremo de la cuerda:
De esta forma podemos ver fácilmente qué cuerdas son menores o mayores que el lado del triángulo (en la imagen, las azules son menores y las rojas mayores). A partir de la imagen podemos ver que el círculo está dividido en 3 regiones que dividen el círculo en 3 arcos iguales. En dos de las regiones las cuerdas serán menores que el triángulo y en la otra serán mayores.
Por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda sea mayor que el lado del triángulo es 1/3. - Solución B: dada una cuerda, podemos poner el triángulo de forma que uno de sus lados sea paralelo a la cuerda (la línea gris indica que sólo nos fijamos en el semicírculo inferior, porque el mismo razonamiento funciona con la otra mitad si giramos en triángulo 180º):
De esta forma podemos ver fácilmente qué cuerdas son menores o mayores que el lado del triángulo. A partir de la imagen podemos ver que el semicírculo está dividido en dos regiones de la misma altura (eso es así porque el triángulo inscrito es equilátero. No lo voy a demostrar, pero podéis demostrarlo vosotros fácilmente si tenéis curiosidad): una en la que las cuerdas son mayores y la otra en la que las cuerdas son menores.
Por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda sea mayor que el lado del triángulo es 1/2. - Solución C: podemos inscribir un círculo dentro del triángulo, que será de radio r/2 (otra vez, esto no lo voy a demostrar, pero podéis demostrarlo vosotros):
De esta forma podemos ver fácilmente qué cuerdas son mayores o menores que el lado del triángulo (las que pasan por el círculo interior son mayores, las que no son menores). A partir de la imagen podemos ver que el círculo está dividido en dos regiones: el círculo pequeño y el resto.
No sabemos el área de estas regiones, pero sí sabemos su relación. Como el área de un círculo es cuadrática con el radio, Area(r)/Area(r/2)=1/4. Por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda sea mayor que el lado del triángulo es 1/4
¿Cuál es la solución correcta? Al fin y al cabo, de las infinitas cuerdas que hay en el círculo, o 1/2, o 1/3, o 1/4 serán mayores que el lado del triángulo, pero la solución será única… ¿no?
Resulta que no. Cada solución lo que está haciendo de forma implícita es seleccionar las cuerdas de diferente forma. Dicho de otra forma, cada solución ordena el conjunto infinito de cuerdas usando órdenes diferentes, y eso acaba alterando el resultado. Al menos, eso es lo que dice la Wikipedia y una docena de otras páginas (incluyendo el MIT, Stanford y otros mamotretos académicos).
A mí esta forma de resolver las cosas no me dejó lleno de satisfacción y plenitud, la verdad. Más bien me pareció algo muy abstracto, casi como una forma de escurrir el bulto. Pero el otro día vi la luz…
¿Cuántos es la probabilidad de obtener un par si cojo un número natural de forma aleatoria? Creo que la mayoría diríamos que un 50%. Al fin y al cabo, si empezamos a mirar los números naturales, el patrón impar-par salta a la vista de una forma obvia (en negrita los pares):
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…
Sin embargo, yo puedo ordenar los números naturales de una forma completamente distinta:
1,3,5,2,7,9,11,4,13,15,17,6…
En este caso, estoy ordenando los números como impar-impar-impar-par. Este orden no se deja ningún número, ya que antes o después, todo los números naturales aparecerán. Sin embargo, con este orden, la probabilidad de obtener un número par es 1/4.
Ahora hemos abierto la caja de Pandora… ¡nuestro instinto nos dice que la probabilidad de tener un número par es 1/2! Pero claro, en problema es que hemos cogido un orden anti-natural, creado simplemente para joder la marrana. Y entonces, en el caso de las cuerdas y el triángulo, ¿cuál es el orden correcto?
Resulta que “correcto” no es la palabra adecuada. La segunda ordenación de los números naturales que he puesto antes es correcta. El problema es que para crear ese orden tienes que conocer también el primero orden. Es decir, el segundo orden tiene más información que el primero. Esta es la base de lo que Edwin Jaynes llama el “principio de máxima ignorancia”: la solución que menos información contiene/asume es la mejor
Si miramos detenidamente el problema de las cuerdas con este principio en mente, resulta que la solución A y C están asumiendo de forma implícita un radio fijo para el círculo (desconocido pero fijo). La solución B es invariante para la traslación y el escalado, así que es la solución que menos información contiene. No me da tiempo a explicarlo aquí, porque este (ya largo de por sí) post se haría todavía más largo, pero podéis ver una breve explicación en la Wikipedia.
